Эдуард Маркаров родился в семье футболиста мастере спорта СССР Артёма Агаларовича Маркарова, который и стал его первым тренером. Маленький Эдик «заразился» футболом от отца, регулярно гонял мяч во дворе с мальчишками. В 14 лет начал тренироваться в бакинском «Локомотиве». В 1961 году 19-летнего Маркарова заметил Борис Аркадьев и пригласил играть за «Нефтяник». Дебют Эдуарда Маркарова на всесоюзной арене состоялся в Москве 26 апреля 1961 года в матче с «Торпедо». «Нефтяник» проиграл 2:3, но Маркаров уже в первой своей игре забил гол. В этом же году он был приглашён в юношескую сборную СССР. До 1968 года он защищал честь сборных СССР: юношеской, молодежной, олимпийской и национальной. В первых трех сборных был признанным лидером.
Вместе с Анатолием Банишевским Маркаров составил грозную пару нападающих бакинского клуба. Несмотря на сыгранность атакующего дуэта, в сборную СССР их приглашали редко и почти не давали играть вместе. Сам Банишевский как-то сказал: «Я восемь лет в большом футболе, видел многих наших игроков, но считаю, что по технике и комбинационному таланту Маркаров был лучшим в стране». Благодаря их усилиям к концу первенства страны «Нефтчи» в первый и последний раз сумел завоевать бронзовые медали. Накануне ЧМ-1966 последовало турне сборной СССР в Данию и Швецию, где Маркаров забил 6 голов в пяти матчах. Однако в Англии на чемпионате мира в первом матче Маркарова на поле не заявили, а в следующем матче против чилийцев связку Банишевский – Маркаров разъединили. То выступление сборной СССР стало самым успешным на чемпионатах мира в ХХ веке: команда заняла призовое 4-е место. Вернувшись с первенства мира, Маркаров и Банишевский застали свою клубную команду во второй десятке. В конце 1960-х Маркарова стали преследовать травмы, и он решил в 1971 году перейти в ереванский «Арарат». С этим клубом у Маркарова связан самый удачный период карьеры. Сначала как игрок он стал двукратным обладателем Кубка СССР, золотых и серебряных медалей чемпионата, а затем в 1976 году, уже в качестве тренера, серебряным призёром чемпионата и финалистом Кубка. В 1975 году наряду с Гердом Мюллером стал лучшим бомбардиром Кубка европейских чемпионов.
На тренерском посту Эдуард Артемович оказался неожиданно. Из «Арарата» ушел Виктор Маслов, и 33-летнему Маркарову предложили возглавить команду. С ним весенний чемпионат 1976 года «Арарат» оканчивает на втором месте, завоевав серебряные медали. В кубке под руководством Маркарова «Арарат» дошёл до финала. После удачного дебюта Маркаров всё-таки ушёл из команды и стал тренировать детей в республиканской школе Армянской ССР. В 1979 году уехал в Алжир, где преподавал в Институте науки и спорта. По возвращении снова работал в «Арарате», помощником Никиты Симоняна. До распада СССР работал ассистентом тренера в юношеской сборной СССР. После распада СССР Маркаров работал в Ливане, а также с армянскими командами. Его последним местом футбольной деятельности стала «Мика», где он в 2011 году являлся исполняющим обязанности главного тренера клуба.
Эдуард Маркаров – единственный армянский футболист, завоевавший золотую, серебряную и бронзовую медали чемпионатов СССР, а также Кубок страны. Наряду с Арутюном Кегеяном является обладателем высшего спортивного звания в СССР – заслуженный мастер спорта.
