Алеша Абраамян родился 28 августа 1945 года в Ленинакане. Почти всю свою футбольную карьеру он провел в составе «Арарата» (1965-1978 гг.), в составе которого сыграл 282 матча (пропустил 290 голов).
В 1973 году Абраамян в составе ереванского клуба стал чемпионом и обладателем Кубка СССР. Во второй раз вратарь «Арарата» завоевал Кубок вместе со своим клубом в 1975 году. Дважды становился серебряным призером первенства СССР (1971 и 1976, весна). Вклад Абраамяна в эти успехи «Арарата» трудно переоценить.
По итогам сезона 1966 года Абраамян был признан всесоюзным молодежным журналом «Смена» лучшим вратарем СССР среди дебютантов. В том же 1966 году он попал в список 10 лучших спортсменов Армении. Армянский голкипер вошел в учрежденный в 1980 году символический Клуб Льва Яшина как вратарь, сохранивший свои ворота в неприкосновенности в 100 и более играх. На счету Абраамяна 138 таких «сухих» матчей.
После окончания карьеры футболиста Алеша Варосович занимался тренерской деятельностью, в частности, тренировал вратарей «Арарата». В период с 1981-го по 1987 гг. судил матчи чемпионата СССР. В 2013 году Алеша Абраамян был награжден медалью первой степени «За заслуги перед Отечеством».
